Цель курса - познакомить слушателей с "классическими" конечными геометриями (проективные и полярные пространства, проективные плоскости) и их приложениями в алгебраической теории кодирования, показать их связь с конечными группами и другими объектами алгебраической комбинаторики (дизайны, латинские квадраты, матрицы Адамара, дистанционно-регулярные графы).

 

28.02.2015. Плоскость Фано (много имен (7, 3, 1) - конфигурации).

01.03.2015. Конечные поля.

21.03.2015. Векторные пространства над конечными полями. Подсчет подпространств.

22.03.2015. Линейные автоморфизмы векторного пространства. Группа GL. Проективные пространства. Группа PGL.

11.04.2015. Коллинеации проективного пространства. Проективная геометрия. Теоремы Паппа, Паскаля, Дезарга. Аксиомы проективной плоскости.

12.04.2015. Существование проективных плоскостей. Дезарговы плоскости. Связь проективных плоскостей с латинскими квадратами. Аксиомы проективной геометрии.

18.04.2015. Теорема Веблена-Юнга. Алгебраические кривые на проективной плоскости.

19.04.2015. Овалы. Теорема Сегре. MDS-коды.

 

Видеозапись лекций доступна по ссылке.

 

Примерный план с разбивкой по лекциям:

1-2: Конечные поля, вычисления в векторных пространствах над конечными полями. Плоскость Фано: геометрия, дизайн, матрица Адамара, линейный код.

3-4: Конечные проективные пространства. Аксиоматический подход, аналитический подход, координатизация пространства.

5-6: Проективные плоскости. Теорема Дезарга. Теорема Брука-Райзера-Чоул. Латинские квадраты. Овалы, теорема Сегре и MDS-коды.

7-8: t-дизайны, проективные геометрии и разностные множества.

9-10, 11-12, 13-14: Пространства с формами (симплектические, унитарные, ортогональные). Полярные пространства, обобщенные четырехугольники.

15-16, 17-18: выбор из трех тем (с учетом оставшегося времени, интересов):
- группы Матье и дизайны Витта,
- коды Рида-Маллера и Кердока,
- матрицы Адамара и MUB (mutually unbiased bases) в квантовой теории информации.

 

Основная литература

C. Godsil, Finite geometry
V. Zinoviev, Elements of design theory
S. Ball, Introduction to finite geometry
P. Cameron, Projective and polar spaces
М. Холл, Комбинаторика
J. Bierbrauer, Groups and geometries
J. Bierbrauer, Finite geometries